3. Pravděpodobnost

Náhodné jevy

Základní pojmy

Definice. Pod náhodným pokusem P rozumíme takový pokus, jehož výsledek závisí na náhodě a který lze za stejných podmínek zopakovat libovolně mnohokrát.

Definice. Výsledek náhodného pokusu nazýváme elementární jev.

Definice. Množinu \(S\) všech elemntárních jevů nazýváme základní prostor.

Definice. Libovolnou podmnožinu \(A\) základního prostoru \(S\) nazýváme náhodný jev.

1. výčtem elementárních jevů: \(A = \{e_1,e_4,e_5\}\)
2. slovním výpisem: \(A = \textrm{ slovní opis jevu }\)
3. pomocí výroků: \(A = \{e:\textrm{ výrok V }\}\)

Příklady. 1) Uvažujme náhodný pokus, který bude spočívat v tom, že hodíme jedenkrát mincí. Pro tento náhodný pokus je potom základním prostorem množina \[S = \{P, O\},\] kde P = "panna" a O = "orel."
2) Uvažujme dále tento náhodný pokus: hoďme nejdříve míncí a padne-li "panna", pak vrhněme hrací kostkou se šesti stranami (s možnými výsledky 1,2,3,4,5,6). Padne-li ovšem při hodu mincí orel, pak ještě jednou hodíme mincí. Nyní bude základní prostor zapsat následovně: \[S = \{P1, P2, P3, P4, P5, P6, OP, OO\}.\] 3) Nyní si představme náhodný pokus spočívající v náhodném tahání ounačených koulí z osudí. Dejme tomu, že je v osudí celkem M koulí označených čísly \(1,\ldots, M\). Po každém vytažení kouli opět vrátíme do osudí. Pokud \(a_i\) označuje číslo koule tažené v i-tém tahu a provedeme celkem n tahů, poté je možné zapsat elementární jev jako uspořádanou n-tici \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\) v případě, že nám bude záležet na pořadí v jakém jsme koule vytáhli. V případě, že nebude záležet na pořadí, zapíšeme elementární jev takto: \([a_1,a_2,\ldots,a_n]\). Základní prostor v případě uspořádaných n-tic má tvar: \[S = \{e:e=(a_1,\ldots,a_n),\ a_i\in\{1,\ldots,M\}\}\] a počet prvků základního prostoru je roven číslu: \[N(S) = M^n.\] Ovšem v případě, kdy nezáleží na pořadí vytažení koulí z osudí, zapíšeme základní prostor ve tvaru: \[S = \{e:e=[a_1,\ldots,a_n],\ a_i\in\{1,\ldots,M\}\}.\]

Nyní poznamenejme několik faktů plynoucích z definice náhodného jevu:
1) Základní prostor je náhodným jevem, neboť je \(S\subset S\). Tento jev nazýváme jistý jev. Tento jev nastane vždy po vykonání náhodného pokusu.
2) Prázdná množina \(\emptyset\) je též náhodným jevem, neboť je \(\emptyset\subset S.\) Tento jev nazýváme jev nemožný. Tento jev nemůže nastat nikdy.
3) Pokud elementární jev e zapíšeme jako množinu \(\{e\}\), tvořenou jediným prvkem e, pak tuto množinu též považujeme za náhodný jev.

Dále poznamenejme, že dva jevy A a B považujeme za kvivalentní, pokud po vykonání náhodného pokusu jev A nastane právě tehdy, když nastane jev B. Množinově to znamená, že platí: \[A = B\iff (A\subset B \wedge B\subset A.)\]

Definice. Nechť \(\varphi\) je systém náhodných jevů v základním prostoru \(S\). Systém \(\varphi\) nazveme polem náhodných jevů, jestliže jsou splněny následující podmínky: \[ \begin{eqnarray} 1.\ \ S & \in &\varphi \\ 2.\ \ A & \in\varphi & \implies A^c\in\varphi\\ 3.\ \ A_i &\in &\varphi,\ i=1,2,3,\ldots\implies\cup_{i=1}^\infty A_i\in\varphi \end{eqnarray} \]

Pojem pravděpodobnosti

Axiomatická definice pravděpodobnosti

Definice. Nechť \(\varphi\) je pole náhodných jevů. Libovolnou reálnou množinovou funkci P, definovanou na \(\varphi\) nazveme pravděpodobností, jestliže platí:
1. \(P(A)\ge 0.\)
2. \(P(S) = 1\).
3. \(P(\cup_{i=1}^\infty A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)\ \ \ A_i\in\varphi,\ \ \ A_i\cap A_j = \emptyset\ \ \textrm{ pro všechna }\ i\neq j,\ i,j = 1,2,\ldots \)

Elementární vlastnosti pravděpodobnosti

Věta. Nechť \(\varphi\) je pole náhodných jevů. Potom pro každý náhodný jev \(A\in\varphi\) platí: \[ 0\le P(A)\le 1. \]

Důkaz. Je-li \(A\in\varphi\), potom z definice jevového pole vyplývá, že \(A^c\in\varphi\) a dále zřejmě \(A\cup A^c = S.\) Nyní uvažujme posloupnost jevů \(\{A_i\}\subset\varphi,\) kde \(A_1 = A,\) \(A_2 = A^c,\) a \(A_i = \emptyset\) pro \(i > 2\). Nyní z definice pravděpodobnosti dostáváme: \[ \begin{eqnarray} 1 &=& P(S)= P(A\cup A^c) = P(\cup_{i=1}^\infty A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)\\ &=& P(A) + P(A^c) + P(\emptyset) + \ldots = P(A) + P(A^c) \ge P(A) \ge 0. \end{eqnarray} \] \(\Box\)

Poznámka. Z předchozího důkazu plyne, že kdykoli máme konečně mnoho po dvou disjunktních jevů \(A_1,\ldots,A_n\in\varphi\), pak platí: \[ P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n P(A_i). \]

Věta. Nechť \(\varphi\) je pole náhodných jevů. Potom pro každý náhodný jev \(A\in\varphi\) platí: \[ P(A) = 1 - P(A^c). \]

Důkaz. Je-li \(A\in\varphi\), pak z výše uvedené poznámky a z definice pravděpodobnosti vyplývá, že \[ 1 = P(S) = P(A \cup A^c) = P(A) + P(A^c). \] Odtud již snadno plyne daný vzorec.\(\Box\)

Věta. Nechť \(\varphi\) je pole náhodných jevů. Pak pro každé dva jevy \(A,B\in\varphi\) takové, že \(A\subset B\) platí: \[ P(A) \le P(B). \]

Důkaz. \[ P(B) = P((B\setminus A)\cup A) = P(B\setminus A) + P(A) \ge P(A). \] \(\Box\)

Věta. Nechť \(\varphi\) je pole náhodných jevů. Pro každé dva jevy \(A,B\in\varphi\) pak platí: \[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) -P(A\cap B). \]

Důkaz. Vyjděme z následující identity: \[ A\cup B = (A\setminus B)\cup (A\cap B) \cup (B\setminus A). \] Vzhledem k tomu, že množiny na pravé straně jsou po dvou disjunktní, platí: \[ \begin{eqnarray} P(A\cup B) &=& P(A\setminus B) + P(A\cap B) + P(B\setminus A) = \\ &=& P(A\setminus B) + P(A\cap B) + P(B\setminus A) + P(A\cap B) - P(A\cap B) = \\ &=& P(A) + P(B) - P(A\cap B). \end{eqnarray} \] \(\Box\)

Zobecněním předchozí věty je následující tvrzení:
Věta. Nechť \(\varphi\) je pole náhodných jevů. Nechť \(\{A_i\}_{i=1}^n\), \(A_i\in\varphi\), \(i = 1,2,\ldots,n\) je libovolný systém konečně mnoha náhodných jevů. Pak platí vzorec: \[ \begin{eqnarray} P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) &=& \\ \sum_{i=1}^n P(A_i) &-& \sum_{i< j } P(A_i\cap A_j) + \sum_{i < j < k} P(A_i\cap A_j\cap A_k) - \ldots+(-1)^{n-1}P(\cap_{i=1}^n A_i). \end{eqnarray} \]

Definice. Pravděpodobnostním prostorem budeme rozumět trojici \[ (S,{\cal A}, P), \] kde \(S\) je základní prostor, \(\cal A\) je sigma algebra na množině \(S\) (neboli jevové pole) a \(P\) je pravděpodobnostní mírou (krátce pravděpodobností) na \(S\).

Klasická definice pravděpodobnosti

Definice. Předpokládejme, že \(A\) je libovolný náhodný jev. Označme \(m\) počet elementárních jevů, tvořící náhodný jev \(A\). Potom pravděpodobnost \(P(A)\) náhodného jevu \(A\) se definuje jako podíl: \[ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\textrm{počet příznivých případů}}{\textrm{počet všech možných případů}} \]

Podmíněná pravděpodobnost

Definice podmíněné pravděpodobnosti

Definice. Předpokládejme, že \(A, B\) jsou dva náhodné jevy a nechť \(P(B) > 0\). Pravděpodobnostní funkci \(P(A\mid B)\), definovanou vztahem: \[ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \] budeme nazývat podmíněnou pravděpodobností náhodného jevu \(A\) za podmínky, že nastal jev \(B\).

Příklad. Uvažujme rodinu mající dvě děti. Ptáme se na pravděpodobnost, obě děti jsou chlapci za předpokladu:
(a) starší dítě je chlapec;
(b) aspoň jedno z dětí je chlapec.

Řešení. Základní prostor lze zapsat ve tvaru: \[ S = \{ChCh, ChD, DCh, DD\}, \] kde ChD znamená fakt, že starší z dětí je chlepec a mladší z dětí je dívka atd. Dále předpokládejme, že všechny elementární jevy jsou stejně pravděpodobné, tj. \[ P(ChCh) = P(ChD) = P(DCh) = P(DD) = \frac{1}{4}. \] Nechť \(A\) označuje jev, že starší dítě je chlapec. To znamená, že \(A = \{ChCh, ChD\}\). Dále ať \(B\) označuje jev, že mladší z dětí je chlapec, tj. \(B = \{ChCh, DCh\}\). Potom tedy jev \(A\cup B\) znamená jev, kdy aspoň jedno z dětí je chlapec. Jev \(A\cap B\) znamená, že obě děti jsou chlapci. V bodě (a) se pak ptáme na to, jaká je pravděpodobnost \(P(A\cap B\mid A)\) a v bodě (b) se ptáme na to, jaká je pravděpodobnost, \(P(A\cap B\mid A\cup B)\). Nyní platí: \[ \begin{eqnarray} P(A\cap B\mid A) &=& \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2},\\ P(A\cap B\mid A\cup B) &=& \frac{P(A\cap B)}{P(A\cup B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}. \end{eqnarray} \]

Nezávislost náhodných jevů

Definice. Nechť \(A, B\) jsou dva náhodné jevy. Řekneme, že náhodné jevy \(A\) a \(B\) jsou nezávislé, jestliže \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\).

Věta. Jsou-li \(A, B\) dva nezávislé náhodné jevy takové, že platí \(P(B) > 0\), resp. \(P(A)> 0\), potom platí: \[ P(A\mid B) = P(A)\ \ \ \text{ resp. }\ P(B\mid A) = P(B). \] Důkaz. Jedná se o zřejmé důsledky definice podmíněné pravděpodobnosti.

Příklad. Uvažujme libovolný pravděpodobnostní prostor \((S, {\cal A}, P)\). Potom jsou dvojice jevů \(\{S,A\}\) a \(\{A,\emptyset\}\) dvojicemi nezávislých jevů.

Věta o úplné pravděpodobnosti

Věta. Nechť \((S,{\cal A},P)\) je pravděpodobnostní prostor, \(\{A_i\}_{i=1}^n\subset\cal A\) tvoří rozklad základního prostoru \(S\), přičemž je \(P(A_i) > 0\), \(i = 1,\ldots,n\) a \(B\) je libovolný náhodný jev, \(A\in\cal A\). Pak platí: \[ P(B) = \sum_{i=1}^n P(A\mid A_i)\cdot P(A_i). \]

Důkaz. Z předpokladů vyplývá, že \[ B = \bigcup_{i=1}^n (B\cap A_i) \implies \] \[ P(B) = \sum_{i=1}^n P(B\cap A_i). \] Ovšem ze vzorce pro výpočet podmíněné pravděpodobnosti plyne pro každé \(i = 1,\ldots, n\), že \[ P(B\cap A_i) = P(B\mid A_i)\cdot P(A_i). \] Odtud již snadno plyne tvrzení věty.\(\Box\)

Poznámka. Z definice podmíněné pravděpodobnosti (kde \(P(A) >0\)), plyne: \[ \begin{equation} P(A\cap B) = P(B\mid A)\cdot P(A). \tag{1} \label{eq: 5} \end{equation} \] Indukcí lze tento vzorec rozšířit takto: jsou-li \(A_1,\ldots, A_n\) takové náhodné jevy pro něž je \(P(A_1\cap\ldots\cap A_n) > 0\), potom platí: \[ P(A_1\cap\ldots\cap A_n) = P(A_1)\cdot P(A_2\mid A_1)\cdots P(A_n\mid A_1\cap\ldots\cap A_{n-1}). \] Tyto vzorce nazýváme pravidly pro násobení pravděpodobností.

Bayesova věta.

Předpokládejme, že \(A\) a \(B\) jsou dva náhodné jevy takové, že \(P(A) > 0\) a \(P(B) > 0\). Nyní spolu s formulí \((\ref{eq: 5})\) lze též psát: \[ \begin{equation} P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B). \tag{2} \label{eq: 7} \end{equation} \] Nyní z formulí \((\ref{eq: 5})\) a \((\ref{eq: 7})\) dostaneme tzv. Bayesovu formuli: \[ \begin{equation} P(A\mid B) = \frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}. \tag{3} \label{eq: 8} \end{equation} \]

Věta (Bayesova věta) Nechť \((S,{\cal A}, P)\) je pravděpodobnostní prostor, \(\{A_i\}_{i=1}^n\subset\cal A\) nechť tvořírozklad základního prostoru \(S\) a nechť \(B\in{\cal A},\ P(B) > 0\). Potom pro každé \(i=1,\ldots,n\) platí: \[ P(A_i\mid B) = \frac{P(A_i)\cdot P(B\mid A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j)\cdot P(B\mid A_j)} \tag{4} \label{Bayes} \]

V následujícím příkladu ukažme aplikaci Bayesova vzorce \((\ref{Bayes})\).

Příklad. Předpokládejme, že máme v osudí dvě mince \(A_1\) a \(A_2\), z nichˇž jednu náhodně vylosujeme a hodíme s ní. Dále předpokládejme, že mince \(A_1\) je férová a tedy pravděpodobnost, že na ní padne panna P je 1/2. Druhá mince \(A_2\) není férová a pravděpodobnost, že padne panna P na této minci je rovna 1/3. Předpokládejme, že jsme náhodně vytáhli minci na které poté padla panna P. Vypočítejme za tohoto předpokladu, jaká je pravděpodobnost, že byla tažena férová mince \(A_1\).

Řešení. Vytvořme pravděpodobnostní model pro tento problém. Nejdříve definujme základní prostor \(S\): \[ S = \{A_1P, A_1O, A_2P, A_2O\}. \] Prvky této množiny jsou elementární výsledky náhodného pokusu, např. \(A_1P\) znamená, že byla vytažena mince \(A_1\) a při hodu s touto mincí padla panna P atd. Podle zadání musí platit pro pravděpodobnosti vztahy: \[ P(A_1) = P(A_2) = 1/2 \] a \[ P(P\mid A_1) = 1/2,\ \ \ P(P\mid A_2) = 1/3. \] Nyní je možné určit pravděpodobnosti všech elementárních jevů pomocí pravidel pro násobení pravděpodobností: \[ P(A_1P) = 1/4,\ P(A_1O) = 1/4,\ P(A_2P) = 1/6,\ P(A_2O) = 1/3. \] Podle Bayesovy formule \((\ref{Bayes})\) je hledaná pravděpodobnost rovna: \[ P(A_1\mid P) = \frac{P(A_1)\cdot P(P\mid A_1)}{P(A_1)\cdot P(P\mid A_1) + P(A_2)\cdot P(P\mid A_2)} = \frac{3}{5}, \] odkud také dostáváme: \[ P(A_2\mid P) = \frac{2}{5}. \]

Konec 3. týdne

Opakované pokusy, Bernoulliho schéma

Binomické rozdělení pravděpodobností

Uvažujme náhodný pokus, během nějž budeme n-krát opakovat hod mincí za stejných podmínek a položme \(a_i = 1\) v případě, kdy v i-tém hodu padne na minci panna "P", \(a_i = 0\) pokud padne v i-tém hodu mincí orel "O". Definujme nyní odpovídající pravděpodobnostní model pro tento náhodný pokus. Základním prostorem bude \[ S = \{e: e = (a_1,\ldots,a_n),\ a_i = 0,1\}. \] Pro každý elementární výsledek náhodného pokusu \(e = (a_1,\ldots,a_n)\) položíme \[ p(e) = p^{\sum a_i}q^{n-\sum a_i}, \] kde \(p,q\ge 0\) a \(p + q = 1\). Nyní v první řadě musí platit, že \(\sum_{e\in S} p(e) = 1.\) Uvažujme ty elementární výsledky \(e = (a_1,\ldots,a_n)\) pro něž je \(\sum a_i = k\), \(k = 0,1,\ldots,n.\) Počet takovýchto elementárních výsledků patřících do základního souboru \(S\) je roven kombinačnímu číslu \(C_k(n)\). Pak tedy platí: \[ \sum_{e\in S} p(e) = \sum_{k=0}^n C_k(n)p^k q^{n-k} = (p + q)^n = 1. \] Dále nechť \({\cal A}\) je sigma-algebrou všech podmnožin množiny \(S\) a pro \(A\in{\cal A}\) položme \[ P(A) = \sum_{e\in A} p(e). \] (Speciálně bude \(P(\{e\}) = p(e), \ e\in S.\)) Tomuto pravděpodobnostnímu modelu budeme říkat Bernoulliho schéma. Je-li speciálně \(n = 1\), pak je buď \(e = 1\) a nebo je \(e = 0\). Lze pak přirozeně definovat \(p(1) = p\) a chápat jako pravděpodobnost "úspěchu."

Uvažujme nyní nahodné jevy \[ A_k = \{e:e = (a_1,\ldots,a_n),\ a_1 + \cdots + a_n = k\},\ \ \ k = 0,1,\ldots,n, \] obsahující ty elementární výsledky náhodného pokusu, kde jsme právě k-krát uspěli. Z výše uvedeného pak plyne, že potom máme: \[ \begin{equation} P(A_k) = C_k(n) p^k q^{n-k}, \tag{5} \label{Bernoulli} \end{equation} \] přičemž \(\sum_{k=0}^n P(A_k) = 1.\) Pravděpodobnosti \(P(A_0),\ldots,P(A_n)\) nazveme binomickým rozdělením pravděpodobností podle počtu úspěchů při n opakováních. Podívejme se na obrázek zde.

Multinomiální rozdělení pravděpodobností

Zobecněme předchozí model tímto způsobem: \[ S = \{e: e = (a_1,\ldots,a_n),\ a_i = b_1,\ldots,b_r\}, \] kde \(b_1\ldots,b_r\) jsou daná čísla. Dále označme jako \(\alpha_1(e)\) počet všech elemntů v \(e = (a_1,\ldots,a_n)\), rovných číslu \(b_i\), \(i = 1,\ldots,r\) a definujme pravděpodobnost elementárního výsledku \(e\) jako číslo: \[ p(e) = p_1^{\alpha_1(e)}\cdots p_r^{\alpha_r(e)}, \] kde \(p_i \ge 0\) a navíc \(p_1 + \cdots + p_r = 1.\) Nyní lze s využitím multinomické poučky ukázat, že platí: \(\sum_{e\in S} p(e) = 1\). Máme totiž \[ \sum_{e\in S} p(e) = \sum_{\substack{ n_1\ge 0,\ldots,n_r\ge 0\\ n_1+\cdots+n_r = n}} C_{n_1,\ldots,n_r}(n) p_1^{n_1}\cdots p_r^{n_r}, \] kde \(C_{n_1,\ldots,n_r}(n) \) je počet uspořádaných n-tic \((a_1,\ldots,a_n)\) ve kterých se číslo \(b_1\) vyskytuje \(n_1\) krát,...,\(b_r\) \(n_r\) krát. Platí: \[ \begin{eqnarray} C_{n_1,\ldots,n_r}(n) &=& C_{n_1}(n)\cdot C_{n_2}(n-n_1)\cdots C_{n_r}(n-(n_1+\cdots+n_{r-1}))\\ &=& \frac{n!}{n_1!(n-n_1)!}\cdot\frac{(n-n_1)!}{n_2!(n-n_1-n_2)!}\cdots 1\\ &=& \frac{n!}{n_1!\cdots n_r!}. \end{eqnarray} \] Odtud potom máme: \[ \sum_{e\in S}p(e) = \sum_{\substack{ n_1\ge 0,\ldots,n_r\ge 0\\ n_1+\cdots+n_r = n}} \frac{n!}{n_1!\cdots n_r!} p_1^{n_1}\cdots p_r^{n_r} = (p_1 +\cdots+p_r)^n = 1. \] Nyní, pokud položíme: \[ A_{n_1,\ldots,n_r} = \{e:\alpha_1(e) = n_1,\ldots,\alpha_r(e) = n_r\}, \] potom \[ P(A_{n_1,\ldots,n_r}) = C_{n_1,\ldots,n_r}(n) p_1^{n_1}\cdots p_r^{n_r}. \] Množinu pravděpodobností \[ \{P(A_{n_1,\ldots,n_r})\} \] nazveme multinomiálním nebo také polynomiálním rozdělením pravděpodobností.

Klíčové pojmy

Závěrečný kvíz